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Terminale › Arithmétique › Obtenir des coefficients de Bézout

Obtenir des coefficients de Bézout : méthode (Maths expertes)

Méthode

Obtenir des coefficients de Bézout

  1. On applique l'algorithme d'Euclide à $a$ et $b$.
  2. On écrit chaque reste non nul sous la forme « reste = dividende − quotient × diviseur ».
  3. On part de l'égalité donnant le PGCD (avant-dernière ligne) et on remplace successivement chaque reste par son expression, en remontant, jusqu'à n'avoir plus que $a$ et $b$.
  4. On vérifie le résultat par un calcul direct.

Exemple avec $1071$ et $462$ : $21 = 462 - 3 \times 147$ et $147 = 1071 - 2 \times 462$, donc $21 = 462 - 3(1071 - 2 \times 462) = 7 \times 462 - 3 \times 1071$. Vérification : $3234 - 3213 = 21$.

Exemple

Relation de Bézout entre 59 et 27

Algorithme d'Euclide : $$\begin{aligned} 59 &= 2 \times 27 + 5 \\ 27 &= 5 \times 5 + 2 \\ 5 &= 2 \times 2 + 1 \\ 2 &= 2 \times 1 + 0 \end{aligned}$$ Donc $\mathrm{PGCD}(59, 27) = 1$. On remonte : $$\begin{aligned} 1 &= 5 - 2 \times 2 \\ &= 5 - 2(27 - 5 \times 5) = 11 \times 5 - 2 \times 27 \\ &= 11(59 - 2 \times 27) - 2 \times 27 = 11 \times 59 - 24 \times 27. \end{aligned}$$ Vérification : $11 \times 59 = 649$ et $24 \times 27 = 648$, la différence vaut $1$.

S’entraîner

Dans le cours

Arithmétique : Obtenir des coefficients de Bézout