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Théorème de Gauss : énoncé (Maths expertes)
Théorème
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$, $c$ trois entiers relatifs. Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.
Démonstration : Théorème de Gauss
Démonstration
Preuve
Comme $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, le théorème de Bézout donne $u, v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + bv = 1$. On multiplie par $c$ : $$c = acu + bcv.$$ $a$ divise $acu$, et $a$ divise $bc$ donc $bcv$. Par combinaison linéaire, $a$ divise $acu + bcv = c$.
S’entraîner
- Résoudre l'équation 23x − 17y = 4
- Petit théorème de Fermat : un reste et une divisibilité
- Deux congruences simultanées