On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$.
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Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
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Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2^{n+1} + 1$.
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Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
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a) Montrer que $u_n$ est divisible par $3$ si et seulement si $n$ est pair.
b) Étudier les restes de $2^k$ modulo $5$ selon les valeurs de $k$. En déduire que $u_n$ est divisible par $5$ si et seulement si $n \equiv 1 \;[4]$.
c) Existe-t-il un entier $n$ tel que $u_n$ soit divisible par $15$ ?
- Montrer qu'aucun terme de la suite n'est divisible par $7$.
Pour l'hérédité de la question 2, remplacer $u_n$ par $2^{n+1} + 1$ dans la relation de récurrence.
Pour la question 3, chercher une combinaison $\alpha u_n + \beta u_{n+1}$ égale à $1$.
Modulo $3$, on a $2 \equiv -1$. Modulo $5$, les puissances de $2$ se répètent avec une période $4$.
Pour la question 5, les puissances de $2$ modulo $7$ se répètent avec une période $3$ : lister les valeurs possibles de $u_n$ modulo $7$.
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