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Théorème de Bézout : énoncé (Maths expertes)
Théorème
Théorème de Bézout
Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $$au + bv = 1.$$
Démonstration : Théorème de Bézout
Démonstration
Preuve
- Si $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, l'identité de Bézout fournit $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.
- Réciproquement, supposons $au + bv = 1$. Tout diviseur commun positif $d$ de $a$ et $b$ divise $au + bv = 1$, donc $d = 1$. Ainsi $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$.
Attention
La réciproque ne vaut que pour 1
Si $au + bv = d$, on ne peut pas conclure que $d = \mathrm{PGCD}(a,b)$ lorsque $d \neq 1$. Exemple : $2 \times 4 + 3 \times (-2) = 2$, alors que $\mathrm{PGCD}(2, 3) = 1$. On peut seulement dire que $\mathrm{PGCD}(a,b)$ divise $d$.
S’entraîner
- Algorithme d'Euclide et relation de Bézout
- Résoudre l'équation 23x − 17y = 4
- Un chiffrement affine
- Divisibilité des termes d'une suite