Corollaire : produit de diviseurs premiers entre eux : énoncé (Maths expertes)

Si $a$ et $b$ divisent $n$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $ab$ divise $n$.

Preuve. $a \mid n$ donc $n = ak$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Alors $b \mid ak$ et $\mathrm{PGCD}(b, a) = 1$, donc $b \mid k$ par le théorème de Gauss : $k = bk'$. Ainsi $n = abk'$ et $ab \mid n$.

Exemple : un entier divisible par $3$ et par $4$ est divisible par $12$. En revanche, $12$ est divisible par $4$ et par $6$ mais pas par $24$ : l'hypothèse « premiers entre eux » est indispensable.