Identité de Bézout : énoncé (Maths expertes)

Soit $E$ l'ensemble des entiers strictement positifs de la forme $au + bv$ avec $u, v \in \mathbb{Z}$. $E$ est non vide : il contient $a^2 + b^2 = a \times a + b \times b > 0$. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément ; notons $m = au_0 + bv_0$ le plus petit élément de $E$.

$m$ divise $a$. On écrit la division euclidienne $a = mq + r$ avec $0 \leqslant r < m$. Alors $r = a - q(au_0 + bv_0) = a(1 - qu_0) + b(-qv_0)$. Si $r > 0$, alors $r \in E$ et $r < m$, ce qui contredit la minimalité de $m$. Donc $r = 0$ et $m \mid a$. De même, $m \mid b$.

$m$ est le PGCD. $m$ est un diviseur commun positif de $a$ et $b$, donc $m \leqslant d$. Par ailleurs $d$ divise $a$ et $b$, donc $d$ divise $au_0 + bv_0 = m$, d'où $d \leqslant m$. Ainsi $m = d$ et $d = au_0 + bv_0$.