Conséquences de l'identité de Bézout : énoncé (Maths expertes)

Soient $a, b$ non tous deux nuls et $d = \mathrm{PGCD}(a,b)$.

1. Les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont exactement les diviseurs de $d$.
2. Il existe $a'$ et $b'$ entiers premiers entre eux tels que $a = da'$ et $b = db'$.

Preuve. 1. Un diviseur de $d$ divise $a$ et $b$ car $d$ les divise. Un diviseur commun de $a$ et $b$ divise $au + bv = d$. 2. $d$ divise $a$ et $b$, d'où $a'$ et $b'$. En divisant $au + bv = d$ par $d \neq 0$ : $a'u + b'v = 1$, donc $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux par le théorème de Bézout.