Dans une papeterie, un stylo coûte $x$ euros, un cahier $y$ euros et un classeur $z$ euros. Un stylo et deux cahiers coûtent $5$ euros ; un cahier et un classeur coûtent $4$ euros ; un stylo et un classeur coûtent $3$ euros.
On pose $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad N=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$
- Écrire le système vérifié par $(x;y;z)$ sous la forme $AX=B$, en précisant $X$ et $B$.
- Calculer $AN$. En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$.
- Déterminer le prix de chaque article.
Chaque phrase de l'énoncé donne une équation ; les coefficients de $x$, $y$, $z$ forment une ligne de $A$.
Le produit $AN$ doit être un multiple simple de $I_3$.
Une fois $A^{-1}$ connue, $X=A^{-1}B$ (multiplication à gauche).
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Les données se traduisent par $$\begin{cases} x+2y=5 \\ y+z=4 \\ x+z=3 \end{cases}$$ c'est-à-dire $AX=B$ avec $X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$.
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On combine chaque ligne de $A$ avec chaque colonne de $N$ :
- ligne $1$, $(1,2,0)$ : $1+2+0=3$ ; $-2+2+0=0$ ; $2-2+0=0$ ;
- ligne $2$, $(0,1,1)$ : $0+1-1=0$ ; $0+1+2=3$ ; $0-1+1=0$ ;
- ligne $3$, $(1,0,1)$ : $1+0-1=0$ ; $-2+0+2=0$ ; $2+0+1=3$.
Donc $AN=3I_3$, soit $A\times\dfrac{1}{3}N=I_3$. Pour des matrices carrées, cela suffit : $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{3}N=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$
- Comme $A$ est inversible, le système a une unique solution : $$X=A^{-1}B=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5-8+6 \\ 5+4-3 \\ -5+8+3 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vérification : $1+2\times 2=5$, $2+2=4$, $1+2=3$. Un stylo coûte $1$ euro, un cahier $2$ euros, un classeur $2$ euros.
$AN=3I_3$, $A^{-1}=\frac{1}{3}N$ ; $(x;y;z)=(1;2;2)$