Chaque jour, une machine est soit en marche (état $1$), soit en panne (état $2$). Si elle fonctionne un jour, elle fonctionne le lendemain avec probabilité $0{,}9$. Si elle est en panne un jour, elle est réparée et fonctionne le lendemain avec probabilité $0{,}3$. On admet que l'état de la machine forme une chaîne de Markov de matrice de transition $P$.
- Écrire $P$.
- On pose $Q=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $R=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$. Vérifier que $Q+R=I_2$ et $P=Q+0{,}6R$. Calculer $Q^2$, $R^2$, $QR$ et $RQ$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P^n=Q+0{,}6^nR$.
- Déterminer la limite de $P^n$. En déduire que, quelle que soit la distribution initiale $\pi_0$, $(\pi_n)$ converge vers une distribution $\pi$ que l'on précisera, et vérifier que $\pi$ est invariante.
- La machine est en panne le jour $0$. On note $q_n$ la probabilité qu'elle fonctionne le jour $n$. Exprimer $q_n$ en fonction de $n$, puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $q_n\geqslant 0{,}7$.
On doit trouver $Q^2=Q$, $R^2=R$ et $QR=RQ$ égale à la matrice nulle.
Dans l'hérédité, développer $(Q+0{,}6^nR)(Q+0{,}6R)$ en respectant l'ordre des facteurs.
$q_n$ est le coefficient ligne $2$, colonne $1$ de $P^n$. Pour l'inéquation, isoler $0{,}6^n$ puis utiliser le logarithme népérien, qui est négatif en $0{,}6$.
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$$P=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$$
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$Q+R=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=I_2$ et $Q+0{,}6R=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 3{,}6 & 0{,}4 \\ 1{,}2 & 2{,}8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}=P$. $$Q^2=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+3 & 3+1 \\ 9+3 & 3+1 \end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=Q,\qquad R^2=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 1+3 & -1-3 \\ -3-9 & 3+9 \end{pmatrix}=R,$$ $$QR=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 3-3 & -3+3 \\ 3-3 & -3+3 \end{pmatrix}=0,\qquad RQ=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 3-3 & 1-1 \\ -9+9 & -3+3 \end{pmatrix}=0.$$
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Initialisation : $Q+0{,}6^0R=Q+R=I_2=P^0$. Hérédité : supposons $P^n=Q+0{,}6^nR$. Alors $$P^{n+1}=P^nP=(Q+0{,}6^nR)(Q+0{,}6R)=Q^2+0{,}6\,QR+0{,}6^n\,RQ+0{,}6^{n+1}R^2=Q+0{,}6^{n+1}R.$$ Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P^n=Q+0{,}6^nR$.
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Comme $-1<0{,}6<1$, $0{,}6^n\to 0$, donc chaque coefficient de $P^n$ tend vers le coefficient correspondant de $Q$ : $P^n\to Q$. Soit $\pi_0=\begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \end{pmatrix}$. Alors $\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0Q+0{,}6^n\,\pi_0R$, et $\pi_0Q=\begin{pmatrix} \frac{3}{4}(\alpha+1-\alpha) & \frac{1}{4}(\alpha+1-\alpha) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$. Donc $(\pi_n)$ converge vers $\pi=\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$. Vérification : $\pi P=\begin{pmatrix} 0{,}675+0{,}075 & 0{,}075+0{,}175 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}=\pi$. À long terme, la machine fonctionne trois jours sur quatre.
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$q_n$ est la probabilité d'être dans l'état $1$ au jour $n$ sachant qu'on part de l'état $2$ : c'est le coefficient $(2,1)$ de $P^n$, soit $$q_n=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\times 0{,}6^n=\frac{3}{4}\left(1-0{,}6^n\right).$$ Contrôle : $q_1=0{,}75\times 0{,}4=0{,}3$. $$q_n\geqslant 0{,}7\iff 1-0{,}6^n\geqslant\frac{14}{15}\iff 0{,}6^n\leqslant\frac{1}{15}\iff n\ln(0{,}6)\leqslant -\ln(15)\iff n\geqslant\frac{\ln(15)}{-\ln(0{,}6)},$$ le sens change car $\ln(0{,}6)<0$. Or $\dfrac{\ln(15)}{-\ln(0{,}6)}\approx 5{,}30$. Le plus petit entier est $n=6$. Contrôle : $q_5\approx 0{,}692$ et $q_6\approx 0{,}715$.
$P^n=Q+0{,}6^nR$ ; $\pi=\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$ ; $q_n=\frac{3}{4}(1-0{,}6^n)$ ; $n=6$