Déterminer une distribution invariante : méthode (Maths expertes)

Un pion se déplace sur trois cases $1,2,3$ avec la matrice de transition $$P=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.$$ On cherche $\pi=\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ avec $\pi P=\pi$ et $x+y+z=1$ : $$\begin{cases} 0{,}5x+0{,}25y=x \\ 0{,}5x+0{,}5y+0{,}5z=y \\ 0{,}25y+0{,}5z=z \\ x+y+z=1 \end{cases}$$ La première équation donne $y=2x$, la troisième $y=2z$, donc $z=x$. Alors $x+2x+x=1$, soit $x=\frac{1}{4}$. Donc $$\pi=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$ La deuxième équation est bien vérifiée : $0{,}5\times\frac{1}{4}+0{,}5\times\frac{1}{2}+0{,}5\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

$P$ contient des zéros, mais $$P^2=\begin{pmatrix} 0{,}375 & 0{,}5 & 0{,}125 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}125 & 0{,}5 & 0{,}375 \end{pmatrix}$$ a tous ses coefficients strictement positifs. D'après le théorème admis, $(\pi_n)$ converge vers $\pi$ quelle que soit la case de départ : à long terme, le pion est sur la case centrale avec probabilité $\frac{1}{2}$.