Évolution de la distribution : énoncé (Maths expertes)
Évolution de la distribution
Pour tout entier naturel $n$ : $$\pi_{n+1}=\pi_nP\qquad\text{et donc}\qquad\pi_n=\pi_0P^n.$$
Démonstration : Évolution de la distribution
Évolution de la distribution
Soit $j\in E$. Les événements $(X_n=1),\dots,(X_n=m)$ forment un système complet. Par la formule des probabilités totales (les termes où $P(X_n=i)=0$ sont nuls) : $$P(X_{n+1}=j)=\sum_{i=1}^{m}P(X_n=i)\,P_{(X_n=i)}(X_{n+1}=j)=\sum_{i=1}^{m}P(X_n=i)\,p_{ij}.$$ C'est le produit de la ligne $\pi_n$ par la colonne $j$ de $P$ : c'est donc le coefficient $j$ de $\pi_nP$. Ainsi $\pi_{n+1}=\pi_nP$.
Par récurrence : $\pi_0=\pi_0P^0$, et si $\pi_n=\pi_0P^n$, alors $\pi_{n+1}=\pi_nP=\pi_0P^nP=\pi_0P^{n+1}$.
Interprétation de Pⁿ
Le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité d'être dans l'état $j$ à l'instant $n$ sachant qu'on part de l'état $i$ à l'instant $0$. C'est l'analogue probabiliste du comptage de chemins : on additionne, sur tous les chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$, le produit des poids des arcs.
Ligne ou colonne
Avec la convention du programme ($p_{ij}$ en ligne $i$, colonne $j$), la distribution est une ligne et elle se multiplie à gauche : $\pi_{n+1}=\pi_nP$. Écrire $P\pi_n$ n'a pas de sens (formats incompatibles). Certains énoncés utilisent des colonnes et la transposée de $P$ : lire attentivement la convention choisie.
Une chaîne à deux états
Chaque jour, le temps est beau (état $1$) ou pluvieux (état $2$). S'il fait beau, il fait beau le lendemain avec probabilité $0{,}8$ ; s'il pleut, il fait beau le lendemain avec probabilité $0{,}4$. La matrice de transition est $$P=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}.$$ S'il fait beau le jour $0$, $\pi_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, puis $\pi_1=\pi_0P=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ et $$\pi_2=\pi_1P=\begin{pmatrix} 0{,}64+0{,}08 & 0{,}16+0{,}12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}72 & 0{,}28 \end{pmatrix}.$$ En notant $p_n=P(X_n=1)$, on a $P(X_n=2)=1-p_n$ et $$p_{n+1}=0{,}8p_n+0{,}4(1-p_n)=0{,}4p_n+0{,}4.$$ Le point fixe vérifie $\ell=0{,}4\ell+0{,}4$, soit $\ell=\frac{2}{3}$. La suite $(p_n-\frac{2}{3})$ est géométrique de raison $0{,}4$, donc $$p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 0{,}4^n.$$ Contrôle : $p_1=\frac{2}{3}+\frac{0{,}4}{3}=0{,}8$. Comme $0{,}4^n\to 0$, $(\pi_n)$ converge vers $\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ : à long terme, il fait beau deux jours sur trois.
S’entraîner
- Deux formules d'abonnement
- Vélos en libre-service entre trois stations
- Pⁿ explicite pour une machine qui tombe en panne
- Un robot aspirateur dans quatre pièces
- Deux lacs et un alevinage