Écriture matricielle d'un système : énoncé (Maths expertes)
Écriture matricielle d'un système
Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX=B$, où $A$ est la matrice carrée des coefficients, $X$ la colonne des inconnues et $B$ la colonne des seconds membres.
Si $A$ est inversible, le système admet une unique solution : $$X=A^{-1}B.$$
Démonstration : Écriture matricielle d'un système
Solution unique d'un système AX = B
Supposons $A$ inversible.
- Si $X$ vérifie $AX=B$, en multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX=A^{-1}B$, soit $X=A^{-1}B$. Il y a donc au plus une solution.
- Réciproquement, $A(A^{-1}B)=(AA^{-1})B=B$ : la colonne $A^{-1}B$ est bien solution.
Le système a donc une unique solution, $X=A^{-1}B$.
Résolution d'un système 2×2
On résout $\begin{cases} 2x+3y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$.
Il s'écrit $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$\det(A)=2\times(-1)-3\times 1=-5\neq 0$, donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=-\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$$ Alors $$X=A^{-1}B=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 7+3 \\ 7-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$ Vérification : $2\times 2+3\times 1=7$ et $2-1=1$. La solution est $(x;y)=(2;1)$.
S’entraîner
- Inverse d'une matrice 2×2 et résolution d'un système
- Prix de trois articles et inverse d'une matrice 3×3
- Suite matricielle U(n+1) = AU(n) + B