Inverse d'une matrice 2×2 : énoncé (Maths expertes)
Inverse d'une matrice 2×2
La matrice $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$. Dans ce cas : $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Démonstration : Inverse d'une matrice 2×2
Inverse d'une matrice 2×2
Posons $M=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. On calcule : $$AM=\begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ba \\ cd-dc & -cb+da \end{pmatrix}=(ad-bc)I_2.$$
Si $ad-bc\neq 0$ : en divisant par $ad-bc$, on obtient $A\left(\dfrac{1}{ad-bc}M\right)=I_2$. Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}M$.
Si $ad-bc=0$ : alors $AM$ est la matrice nulle. Supposons par l'absurde $A$ inversible. En multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient $M=A^{-1}(AM)$, donc $M$ est nulle, c'est-à-dire $a=b=c=d=0$. Alors $A$ est la matrice nulle, et pour toute matrice $B$, $AB$ est nulle, donc différente de $I_2$ : $A$ n'est pas inversible. C'est une contradiction. Donc $A$ n'est pas inversible.
La double implication est démontrée.
S’entraîner
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