Exercice corrigé : Vélos en libre-service entre trois stations

Une ville possède trois stations de vélos $A$, $B$, $C$. Chaque jour, un vélo donné est déplacé ou non selon les probabilités suivantes :

• un vélo en $A$ y reste avec probabilité $0{,}8$, va en $B$ avec probabilité $0{,}1$, en $C$ avec probabilité $0{,}1$ ;
• un vélo en $B$ va en $A$ avec probabilité $0{,}2$, reste en $B$ avec probabilité $0{,}7$, va en $C$ avec probabilité $0{,}1$ ;
• un vélo en $C$ va en $A$ avec probabilité $0{,}1$, en $B$ avec probabilité $0{,}2$, reste en $C$ avec probabilité $0{,}7$.

On note $X_n$ la station du vélo le jour $n$ (états $1=A$, $2=B$, $3=C$) et $\pi_n$ sa distribution ; on admet que $(X_n)$ est une chaîne de Markov.

1. Écrire la matrice de transition $P$.
2. Le vélo est en $A$ le jour $0$. Calculer $\pi_1$ et $\pi_2$.
3. Déterminer la distribution invariante $\pi=\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$.
4. Justifier que $(\pi_n)$ converge vers $\pi$. La ville dispose de $160$ vélos qui évoluent tous de cette manière : combien de vélos peut-on prévoir, à long terme, dans chaque station ?