Factorisation d'un polynôme par $z-a$ : énoncé (Maths expertes)

1. On développe : $(z-a)\sum_{k=0}^{n-1}z^ka^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{k+1}a^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}z^ka^{n-k}$. En posant $j=k+1$ dans la première somme, elle devient $\sum_{j=1}^{n}z^ja^{n-j}$. Les termes d'indice $1$ à $n-1$ se compensent ; il reste $z^n-a^n$.

2. On écrit $P(z)=\sum_{k=0}^{n}c_kz^k$ avec $c_n\neq 0$. Comme $P(a)=0$ : $$P(z)=P(z)-P(a)=\sum_{k=1}^{n}c_k\left(z^k-a^k\right).$$ D'après le point 1, chaque $z^k-a^k$ s'écrit $(z-a)Q_k(z)$ avec $Q_k$ de degré $k-1$. Donc $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q=\sum_{k=1}^n c_kQ_k$, de degré $n-1$ car seul $c_nQ_n$ contient le terme $c_nz^{n-1}$.

3. Par récurrence sur $n\geq 1$. Un polynôme de degré $1$, $c_1z+c_0$ avec $c_1\neq 0$, a une seule racine $-\dfrac{c_0}{c_1}$. Supposons la propriété vraie au rang $n$ et soit $P$ de degré $n+1$. Si $P$ n'a pas de racine, c'est fini. Sinon, soit $a$ une racine : $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$. Par produit nul, les racines de $P$ sont $a$ et les racines de $Q$, qui sont au plus $n$. $P$ a donc au plus $n+1$ racines.