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Résoudre une équation du premier degré : méthode (Maths expertes)

Méthode

Résoudre une équation du premier degré

Cas 1 : l'inconnue $z$ apparaît seule. On isole $z$ comme dans $\mathbb{R}$, puis on écrit le résultat sous forme algébrique.

Cas 2 : $z$ et $\overline{z}$ apparaissent ensemble. On ne peut pas isoler $z$ directement.

On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels, donc $\overline{z}=x-iy$.
On développe et on écrit chaque membre sous forme algébrique.
On identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.
On résout le système et on conclut avec $z=x+iy$.

Exemple

Deux équations du premier degré

Résoudre $(1+i)z=3-i$. Comme $1+i\neq 0$ :

$$z=\frac{3-i}{1+i}=\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-i+i^2}{2}=\frac{2-4i}{2}=1-2i.$$

Vérification : $(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i^2=3-i$. L'ensemble des solutions est $\{1-2i\}$.

Résoudre $z+2\overline{z}=3-i$. On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels :

$$x+iy+2(x-iy)=3x-iy.$$

L'équation devient $3x-iy=3-i$, soit $3x=3$ et $-y=-1$. Donc $x=1$, $y=1$ et l'unique solution est $z=1+i$.

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