Équation du second degré à coefficients réels : énoncé (Maths expertes)
Équation du second degré à coefficients réels
Soient $a,b,c$ des réels avec $a\neq 0$, et $\Delta=b^2-4ac$. L'équation $az^2+bz+c=0$ d'inconnue $z\in\mathbb{C}$ admet :
- si $\Delta>0$, deux solutions réelles $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
- si $\Delta=0$, une solution réelle $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ ;
- si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées
$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\overline{z_1}.$$
Dans tous les cas, pour tout $z\in\mathbb{C}$, $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ (avec $z_1=z_2=z_0$ si $\Delta=0$).
Démonstration : Équation du second degré à coefficients réels
Résolution de l'équation du second degré
Pour tout $z\in\mathbb{C}$, la forme canonique obtenue en première reste valable, car elle n'utilise que les règles de calcul communes à $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ :
$$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].$$
Les cas $\Delta>0$ et $\Delta=0$ se traitent comme en première. On suppose $\Delta<0$. Alors $-\Delta>0$ et $\Delta=-(\sqrt{-\Delta})^2=\left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2$. Donc
$$\begin{aligned}az^2+bz+c&=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\&=a\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\\&=a(z-z_2)(z-z_1).\end{aligned}$$
Comme $a\neq 0$, la propriété du produit nul donne : $az^2+bz+c=0\iff z=z_1$ ou $z=z_2$. Enfin $a$, $b$ et $\sqrt{-\Delta}$ sont réels, donc $z_2=\overline{z_1}$.
Résoudre $z^2-2z+5=0$
Les coefficients sont réels : $a=1$, $b=-2$, $c=5$. On a $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 5=-16<0$, et $\sqrt{-\Delta}=4$.
$$z_1=\frac{2-4i}{2}=1-2i,\qquad z_2=\frac{2+4i}{2}=1+2i.$$
L'ensemble des solutions est $\{1-2i\,;\,1+2i\}$ et $z^2-2z+5=(z-1+2i)(z-1-2i)$.
De même, $z^2+z+1=0$ a pour discriminant $-3$ et pour solutions $\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$.
Somme et produit des solutions
Comme en première, $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$, ce qui se lit en développant $a(z-z_1)(z-z_2)$. Ces relations permettent de vérifier un résultat : pour $z^2-2z+5$, on trouve bien $(1-2i)+(1+2i)=2$ et $(1-2i)(1+2i)=1+4=5$.
Pas de racine carrée d'un négatif
Le symbole $\sqrt{\;}$ est réservé aux réels positifs. On n'écrit jamais $\sqrt{-16}$ ni $\sqrt{\Delta}$ lorsque $\Delta<0$. On écrit $\Delta=-16=(4i)^2$, ou on applique directement la formule avec $i\sqrt{-\Delta}$.
Le théorème ne s'applique qu'à des coefficients réels.
S’entraîner
- Équations du premier degré
- Équations du second degré à coefficients réels
- Une équation de degré 3 et un triangle
- Ensembles de points
- Formule de Moivre et valeur exacte de cos(π/8)
Dans le cours
Nombres complexes : Équation du second degré à coefficients réels