Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère le polynôme $P(z)=z^3-4z^2+8z-8$.
Partie A
- Vérifier que $2$ est une racine de $P$.
- Déterminer les réels $\beta$ et $\gamma$ tels que, pour tout $z\in\mathbb{C}$, $P(z)=(z-2)(z^2+\beta z+\gamma)$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.
Partie B On note $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $a=2$, $b=1+i\sqrt3$ et $c=1-i\sqrt3$.
- Écrire $b$ et $c$ sous forme exponentielle.
- Montrer que $A$, $B$, $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ dont on donnera le rayon.
- Montrer que le triangle $OAB$ est équilatéral.
- Montrer que le quadrilatère $OBAC$ est un losange.
Partie C
- Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $b^n$ est un réel.
- Écrire $b^{2027}$ sous forme algébrique.
Partie A : on développe $(z-2)(z^2+\beta z+\gamma)$ et on identifie les coefficients.
Partie B : un argument de $b$ se lit avec $\cos\theta=\frac12$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ ; pour le losange, on compare les milieux des diagonales.
Partie C : $b^n=2^ne^{in\pi/3}$ est réel si et seulement si $\sin\frac{n\pi}{3}=0$ ; pour $2027$, on cherche le reste de la division par $6$.
Partie A
1. $P(2)=8-16+16-8=0$.
2. Pour tout $z$ : $(z-2)(z^2+\beta z+\gamma)=z^3+(\beta-2)z^2+(\gamma-2\beta)z-2\gamma$. Par identification : $\beta-2=-4$ et $-2\gamma=-8$, donc $\beta=-2$ et $\gamma=4$. Vérification du coefficient de $z$ : $\gamma-2\beta=4+4=8$. Ainsi $P(z)=(z-2)(z^2-2z+4)$.
3. Par produit nul, $P(z)=0\iff z=2$ ou $z^2-2z+4=0$. Ce trinôme à coefficients réels a pour discriminant $\Delta=4-16=-12<0$, et $\sqrt{-\Delta}=2\sqrt3$. Ses solutions sont $\dfrac{2\pm2i\sqrt3}{2}=1\pm i\sqrt3$. L'ensemble des solutions est $\{2\,;\,1+i\sqrt3\,;\,1-i\sqrt3\}$.
Partie B
1. $|b|=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=\dfrac12$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$, donc $b=2e^{i\pi/3}$. Comme $c=\overline{b}$, $c=2e^{-i\pi/3}$.
2. $OA=|a|=2$, $OB=|b|=2$, $OC=|c|=2$. Les trois points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
3. $OA=OB=2$ et $AB=|b-a|=\left|-1+i\sqrt3\right|=\sqrt{1+3}=2$. Les trois côtés ont la même longueur : $OAB$ est équilatéral.
4. Le milieu de $[OA]$ a pour affixe $\dfrac{0+2}{2}=1$ et celui de $[BC]$ a pour affixe $\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1$. Les diagonales de $OBAC$ ont le même milieu : c'est un parallélogramme. De plus $OB=OC=2$ : deux côtés consécutifs sont égaux, donc $OBAC$ est un losange.
Partie C
1. $b^n=2^ne^{in\pi/3}=2^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{3}+i\sin\dfrac{n\pi}{3}\right)$ avec $2^n>0$. Donc $b^n$ est réel si et seulement si $\sin\dfrac{n\pi}{3}=0$, c'est-à-dire s'il existe un entier $k$ tel que $\dfrac{n\pi}{3}=k\pi$, soit $n=3k$. Les entiers cherchés sont les multiples de $3$.
2. $2027=6\times337+5$, donc $\dfrac{2027\pi}{3}=337\times2\pi+\dfrac{5\pi}{3}$ et $$b^{2027}=2^{2027}e^{5i\pi/3}=2^{2027}\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=2^{2026}-i\,2^{2026}\sqrt3.$$
$\{2\,;\,1+i\sqrt3\,;\,1-i\sqrt3\}$ ; $b=2e^{i\pi/3}$ ; $b^n$ réel $\iff n$ multiple de 3 ; $b^{2027}=2^{2026}(1-i\sqrt3)$