Propriétés du conjugué : énoncé (Maths expertes)
Propriétés du conjugué
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :
- $z+\overline{z}=2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$ ;
- $z$ est réel $\iff \overline{z}=z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z}=-z$ ;
- si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$, qui est un réel positif ;
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ ;
- $\overline{zz'}=\overline{z}\;\overline{z'}$ ;
- si $z\neq 0$ : $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$ et $\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}$ ;
- $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$.
Démonstration : Propriétés du conjugué
Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance
On pose $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ avec $a,b,a',b'$ réels.
Produit. $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$, donc $\overline{zz'}=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. D'autre part $\overline{z}\;\overline{z'}=(a-ib)(a'-ib')=aa'-iab'-ia'b+i^2bb'=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Les deux expressions sont égales : $\overline{zz'}=\overline{z}\;\overline{z'}$.
Inverse. Soit $z\neq 0$. On a $z\times\dfrac{1}{z}=1$. En prenant le conjugué et en utilisant le résultat précédent : $\overline{z}\times\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1$. Comme $\overline{z}\neq 0$ (sinon $z=0$), on obtient $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$. Le quotient s'en déduit en écrivant $\dfrac{z'}{z}=z'\times\dfrac{1}{z}$.
Puissance. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$ : $\overline{z^0}=\overline{1}=1=\overline{z}^{\,0}$. Si $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$ pour un entier $n$, alors $\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times\overline{z}=\overline{z}^{\,n}\times\overline{z}=\overline{z}^{\,n+1}$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.