Égalité de deux nombres complexes : énoncé (Maths expertes)
Égalité de deux nombres complexes
Soient $a,b,a',b'$ des réels. Par unicité de la forme algébrique :
$$a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'.$$
En particulier $a+ib=0 \iff a=0$ et $b=0$.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Calculs en forme algébrique
On développe comme dans $\mathbb{R}$, puis on remplace $i^2$ par $-1$.
- $(3-2i)+(-1+5i)=2+3i$.
- $(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i$.
- $(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i$.
Donc $\mathrm{Re}\big((2+3i)(1-i)\big)=5$ et $\mathrm{Im}\big((2+3i)(1-i)\big)=1$. La partie imaginaire est le réel $1$, et non $i$.
Puissances de $i$
$i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. Les puissances de $i$ se répètent de 4 en 4 : pour tout entier naturel $n$, $i^{n}$ ne dépend que du reste de la division de $n$ par $4$.
Par exemple $2027=4\times 506+3$, donc $i^{2027}=i^3=-i$.
S’entraîner
- Calculs en forme algébrique
- Deux triangles équilatéraux et un losange
- Nombres de module 1 et imaginaires purs
- Type bac : une suite de points en spirale