Formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$ : énoncé (Maths expertes)

Par récurrence sur $n$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $(a+b)^0=1$ et $\binom{0}{0}a^0b^0=1$.

Hérédité. Supposons la formule vraie pour un entier $n$. Alors

$$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}.\end{aligned}$$

Dans la première somme, on pose $j=k+1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}a^{j}b^{n+1-j}$. En isolant le terme $j=n+1$ de la première somme et le terme $k=0$ de la seconde :

$$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left[\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right]a^jb^{n+1-j}+b^{n+1}.$$

Par la relation de Pascal, $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$. Comme $\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1$, on obtient $(a+b)^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}a^jb^{n+1-j}$.

Conclusion. La formule est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. Elle repose sur la commutativité de la multiplication dans $\mathbb{C}$ (on a écrit $a\,a^k b^{n-k}=a^{k+1}b^{n-k}$ et $b\,a^kb^{n-k}=a^kb^{n+1-k}$).