L'ensemble $\mathbb{C}$ : définition (Maths expertes)

On admet l'existence d'un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, tel que :

• $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ ;
• $\mathbb{C}$ contient un nombre noté $i$ vérifiant $i^2=-1$ ;
• $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ (commutativité, associativité, distributivité) ;
• tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

Cette écriture est la forme algébrique de $z$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$.

Si $b=0$, $z$ est réel. Si $a=0$, $z$ est dit imaginaire pur ; l'ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb{R}$.