Utiliser les propriétés du conjuguéCaractériser un imaginaire purRaisonner par équivalence
Pour tout nombre complexe $z\neq1$, on pose $w=\dfrac{1+z}{1-z}$.
- Soit $z\in\mathbb{U}$ avec $z\neq1$. Montrer que $w$ est imaginaire pur.
- Réciproquement, soit $t$ un réel. Montrer qu'il existe un unique $z\neq1$ tel que $\dfrac{1+z}{1-z}=it$, l'exprimer en fonction de $t$ et montrer que $z\in\mathbb{U}$.
- Déterminer, sous forme algébrique puis exponentielle, le nombre $z$ tel que $\dfrac{1+z}{1-z}=i\sqrt3$.
Indice 1
Un nombre $w$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{w}=-w$.
Indice 2
Pour $z\in\mathbb{U}$, on remplace $\overline{z}$ par $\dfrac{1}{z}$.
Indice 3
Dans la question 2, on multiplie par $1-z$ et on regroupe les termes en $z$.
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