On pose $\omega=e^{2i\pi/5}$, $a=\omega+\omega^4$ et $b=\omega^2+\omega^3$.
- Justifier que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$.
- Montrer que $\omega^4=\overline{\omega}$ et $\omega^3=\overline{\omega^2}$. En déduire que $a=2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $b=2\cos\dfrac{4\pi}{5}$.
- Calculer $a+b$ et $ab$.
- En déduire que $a$ et $b$ sont les solutions d'une équation du second degré, puis la valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{5}$.
- En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{5}$.
$\omega$ est une racine cinquième de l'unité différente de $1$.
Si $|z|=1$, alors $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$ ; et $\omega^5=1$.
Dans le produit $ab$, on réduit les exposants avec $\omega^5=1$.
Si $a+b=S$ et $ab=P$, alors $a$ et $b$ sont les solutions de $X^2-SX+P=0$. Pour choisir, on regarde le signe de $\cos\frac{2\pi}{5}$.
1. $\omega^5=e^{2i\pi}=1$ et $\omega\neq1$ car $0<\dfrac{2\pi}{5}<2\pi$. La somme est géométrique de raison $\omega\neq1$ : $$1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\frac{1-\omega^5}{1-\omega}=0.$$
2. $|\omega|=1$, donc $\dfrac1\omega=\overline{\omega}$. Comme $\omega^5=1$ : $\omega^4=\dfrac{\omega^5}{\omega}=\dfrac1\omega=\overline{\omega}$. De même $\omega^3=\dfrac{1}{\omega^2}=\overline{\omega}^{\,2}=\overline{\omega^2}$, car $|\omega^2|=1$.
Ainsi $a=\omega+\overline{\omega}=2\,\mathrm{Re}(\omega)=2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $b=\omega^2+\overline{\omega^2}=2\,\mathrm{Re}\left(e^{4i\pi/5}\right)=2\cos\dfrac{4\pi}{5}$.
3. D'après la question 1 : $a+b=\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=-1$. $$ab=(\omega+\omega^4)(\omega^2+\omega^3)=\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7=\omega^3+\omega^4+\omega+\omega^2=-1,$$ car $\omega^6=\omega^5\omega=\omega$ et $\omega^7=\omega^2$.
4. Pour tout $X$, $(X-a)(X-b)=X^2-(a+b)X+ab=X^2+X-1$. Donc $a$ et $b$ sont les solutions de $X^2+X-1=0$. Son discriminant vaut $1+4=5$, ses solutions sont $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.
Comme $0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$, $a=2\cos\dfrac{2\pi}{5}>0$ ; or $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<0$. Donc $a=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$, $b=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$
5. On a aussi $\cos\dfrac{4\pi}{5}=\dfrac{b}{2}=-\dfrac{1+\sqrt5}{4}$. Or $\cos\dfrac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{5}$. Donc $$\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$
$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}$ ; $\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}$