Étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$Calculer des limitesUtiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x-\ln x$.
- Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
- Calculer $f'(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.
- En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln x<x$.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ sur $]0\,;+\infty[$.
Indice 1
En $+\infty$, la forme est indéterminée : factoriser par $x$.
Indice 2
$f'(x)=\frac{x-1}{x}$ ; le dénominateur est positif.
Indice 3
Pour 4., appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des deux intervalles de monotonie.
🔒 Corrigé Premium
Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine
Créer mon compte gratuit