Partie 1. Un capital de $1000$ euros est placé à intérêts composés au taux annuel de $3\,\%$. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.
- Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
- Déterminer, par le calcul, au bout de combien d'années le capital aura au moins doublé.
Partie 2. Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est de $20$ mg/L. Elle diminue ensuite de $10\,\%$ chaque heure. On note $c_n$ la concentration, en mg/L, au bout de $n$ heures.
- Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
- Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $c_n<0{,}2$.
Augmenter de $3\,\%$ revient à multiplier par $1{,}03$ ; diminuer de $10\,\%$ revient à multiplier par $0{,}9$.
Appliquer $\ln$ aux deux membres (strictement positifs) puis utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$.
Attention au signe de $\ln q$ avant de diviser.
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Chaque année, le capital est multiplié par $1+\frac{3}{100}=1{,}03$. La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $C_0=1000$ : $C_n=1000\times1{,}03^n$.
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On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n\geqslant2000$. $$C_n\geqslant2000\iff1{,}03^n\geqslant2\iff n\ln(1{,}03)\geqslant\ln2,$$ car $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et les deux membres sont strictement positifs. Comme $1{,}03>1$, $\ln(1{,}03)>0$, donc $$n\geqslant\frac{\ln2}{\ln(1{,}03)}\approx23{,}45.$$ Le capital aura au moins doublé au bout de $24$ années. Vérification : $1000\times1{,}03^{23}\approx1973{,}6$ et $1000\times1{,}03^{24}\approx2032{,}8$.
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Chaque heure, la concentration est multipliée par $1-\frac{10}{100}=0{,}9$ : $c_n=20\times0{,}9^n$.
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$c_n<0{,}2\iff0{,}9^n<0{,}01\iff n\ln(0{,}9)<\ln(0{,}01)$.
Comme $0<0{,}9<1$, $\ln(0{,}9)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité : $$n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)}\approx43{,}71.$$ Le plus petit entier qui convient est $n=44$. Vérification : $20\times0{,}9^{43}\approx0{,}215$ et $20\times0{,}9^{44}\approx0{,}194$.
$C_n=1000\times1{,}03^n$, $n=24$ ; $c_n=20\times0{,}9^n$, $n=44$