Résoudre une équation ou une inéquation avec ln : méthode (Terminale spé)
Résoudre une équation ou une inéquation avec ln
- Domaine : écrire les conditions pour que chaque logarithme existe (argument strictement positif) et en déduire l'ensemble $D$ où l'on travaille.
- Regrouper les logarithmes en un seul, avec $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ ou $\ln a-\ln b=\ln\frac ab$.
- Se ramener à $\ln A=\ln B$ (ou $\ln A<\ln B$), puis à $A=B$ (ou $A<B$). Un nombre $k$ s'écrit $\ln(e^k)$.
- Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue.
- Ne garder que les solutions qui appartiennent à $D$.
Équation simple
Résoudre $\ln(2x-1)=\ln(x+3)$.
Domaine : $2x-1>0\iff x>\frac12$ et $x+3>0\iff x>-3$. Donc $D=\left]\frac12\,;+\infty\right[$.
Sur $D$ : $\ln(2x-1)=\ln(x+3)\iff2x-1=x+3\iff x=4$.
Comme $4\in D$, l'ensemble des solutions est $\mathcal S=\{4\}$.
Équation avec une somme de logarithmes
Résoudre $\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$.
Domaine : $x>0$ et $x>2$, donc $D=]2\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $\ln\big(x(x-2)\big)=\ln3\iff x^2-2x=3\iff x^2-2x-3=0$.
Le discriminant vaut $\Delta=4+12=16$, d'où $x=\frac{2+4}{2}=3$ ou $x=\frac{2-4}2=-1$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$. La valeur $-1$ est à rejeter, car $\ln(-1)$ n'existe pas.
Inéquation
Résoudre $\ln(3-x)\leqslant0$.
Domaine : $3-x>0\iff x<3$, donc $D=]-\infty\,;3[$.
Sur $D$ : $\ln(3-x)\leqslant\ln1\iff3-x\leqslant1\iff x\geqslant2$.
En croisant avec $D$ : $\mathcal S=[2\,;3[$.
Inéquation avec une inconnue en exposant
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}8^n<0{,}01$.
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et les deux membres sont strictement positifs : $$0{,}8^n<0{,}01\iff\ln(0{,}8^n)<\ln(0{,}01)\iff n\ln(0{,}8)<\ln(0{,}01).$$ Or $0{,}8<1$, donc $\ln(0{,}8)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens : $$n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}\approx20{,}6.$$ Le plus petit entier qui convient est $n=21$. Vérification : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}0092$.
Équation avec exp
Résoudre $e^{2x}-3e^x+2=0$.
On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation devient $X^2-3X+2=0$, de solutions $X=1$ et $X=2$.
- $e^x=1\iff x=\ln1=0$ ;
- $e^x=2\iff x=\ln2$.
$\mathcal S=\{0\,;\ln2\}$.
Regrouper change le domaine
Les expressions $\ln x+\ln(x-2)$ et $\ln\big(x(x-2)\big)$ n'ont pas le même domaine : la première exige $x>2$, la seconde seulement $x(x-2)>0$, c'est-à-dire $x<0$ ou $x>2$. C'est pourquoi le domaine se détermine avant toute transformation, sur l'équation de départ.
S’entraîner
- Équations élémentaires
- Équations avec domaine
- Inéquations avec ln et exp
- Seuils : doublement d'un capital et élimination d'un médicament
- Étude de x − ln x
Dans le cours
Fonction logarithme népérien : Résoudre une équation ou une inéquation avec ln