Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
a) $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$
b) $2\ln x=\ln(x+6)$
c) $(\ln x)^2-\ln x-2=0$
d) $\ln(x+3)=1+\ln x$
Écrire le domaine sur l'équation de départ, avant toute transformation.
Pour a), b) et d), se ramener à $\ln A=\ln B$ ; pour d), écrire $1=\ln e$.
Pour c), poser $X=\ln x$.
a) Domaine : $x-1>0$ et $x+1>0$, soit $x>1$. $D=]1\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $\ln\big((x-1)(x+1)\big)=\ln8\iff x^2-1=8\iff x^2=9\iff x=3$ ou $x=-3$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$.
b) Domaine : $x>0$ et $x+6>0$, soit $D=]0\,;+\infty[$.
Sur $D$, $2\ln x=\ln(x^2)$, donc l'équation équivaut à $x^2=x+6$, soit $x^2-x-6=0$. $\Delta=1+24=25$, d'où $x=\dfrac{1+5}{2}=3$ ou $x=\dfrac{1-5}{2}=-2$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$.
c) Domaine : $D=]0\,;+\infty[$. On pose $X=\ln x$ : $X^2-X-2=0$. $\Delta=1+8=9$, d'où $X=\dfrac{1+3}{2}=2$ ou $X=\dfrac{1-3}2=-1$.
- $\ln x=2\iff x=e^2$ ;
- $\ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Ces deux valeurs sont strictement positives : $\mathcal S=\left\{\dfrac1e\,;e^2\right\}$.
d) Domaine : $x+3>0$ et $x>0$, soit $D=]0\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $1+\ln x=\ln e+\ln x=\ln(ex)$. L'équation équivaut à $\ln(x+3)=\ln(ex)\iff x+3=ex\iff x(e-1)=3\iff x=\dfrac{3}{e-1}$ (car $e-1\neq0$).
Comme $e-1>0$, $\dfrac3{e-1}>0$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\left\{\dfrac{3}{e-1}\right\}$.
a) $\{3\}$ ; b) $\{3\}$ ; c) $\{e^{-1}\,;e^2\}$ ; d) $\left\{\frac{3}{e-1}\right\}$