Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
a) $\ln(2x-3)<\ln(x+1)$
b) $\ln x\geqslant2$
c) $e^{2x}-5e^x+6\leqslant0$
d) $\ln(1-x)>1$
Commencer par le domaine pour a), b) et d).
Utiliser $\ln a<\ln b\iff a<b$ pour $a,b>0$, et écrire $k=\ln(e^k)$.
Pour c), poser $X=e^x$ et étudier le signe d'un trinôme.
a) Domaine : $2x-3>0\iff x>\frac32$ et $x+1>0\iff x>-1$. Donc $D=\left]\frac32\,;+\infty\right[$.
Sur $D$ : $\ln(2x-3)<\ln(x+1)\iff2x-3<x+1\iff x<4$.
En croisant avec $D$ : $\mathcal S=\left]\dfrac32\,;4\right[$.
b) Domaine : $x>0$. Sur $]0\,;+\infty[$ : $\ln x\geqslant\ln(e^2)\iff x\geqslant e^2$. Comme $e^2>0$ : $\mathcal S=[e^2\,;+\infty[$.
c) On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'inéquation devient $X^2-5X+6\leqslant0$, soit $(X-2)(X-3)\leqslant0$. Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines : $2\leqslant X\leqslant3$.
Or $2\leqslant e^x\leqslant3\iff\ln2\leqslant x\leqslant\ln3$, par stricte croissance de $\ln$. Donc $\mathcal S=[\ln2\,;\ln3]$.
d) Domaine : $1-x>0\iff x<1$, $D=]-\infty\,;1[$.
Sur $D$ : $\ln(1-x)>\ln e\iff1-x>e\iff x<1-e$.
Comme $1-e\approx-1{,}72<1$, on obtient $\mathcal S=]-\infty\,;1-e[$.
a) $\left]\frac32\,;4\right[$ ; b) $[e^2\,;+\infty[$ ; c) $[\ln2\,;\ln3]$ ; d) $]-\infty\,;1-e[$