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Limite liée au nombre dérivé en 1 : énoncé (Terminale spé)

Propriété

Limite liée au nombre dérivé en 1

$$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1.$$ En effet, $\dfrac{\ln(1+h)}{h}=\dfrac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}$ est le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+h$. Il tend vers $\ln'(1)=1$.

Exemple

Lever des formes indéterminées

$\lim_{x\to+\infty}(\ln x-x)$ : forme $\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : $\ln x-x=x\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)$. Comme $\frac{\ln x}{x}\to0$, la parenthèse tend vers $-1$, et $x\to+\infty$. Donc la limite est $-\infty$.
$\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0$ par croissances comparées ($n=2$).
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}$ : pour $x>0$, $\ln x=2\ln(\sqrt x)$, donc $\frac{\ln x}{\sqrt x}=2\,\frac{\ln(\sqrt x)}{\sqrt x}$. Avec $X=\sqrt x\to+\infty$, $\frac{\ln X}{X}\to0$, donc la limite est $0$.
$\lim_{x\to0^+}\left(\frac1x+\ln x\right)$ : forme $+\infty-\infty$. On écrit $\frac1x+\ln x=\frac1x\left(1+x\ln x\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $\frac1x\to+\infty$, donc la limite est $+\infty$.

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Dans le cours

Fonction logarithme népérien : Limite liée au nombre dérivé en 1