Exercice corrigé : Sujet type bac : suite définie par u(n+1) = 1 + ln(u(n))

Partie A

Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=1+\ln x$, et $\varphi$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $\varphi(x)=1+\ln x-x$.

1. Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. En déduire que pour tout réel $x>0$, $\ln x\leqslant x-1$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
3. Justifier que $h$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et calculer $h(1)$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1+\ln(u_n)$.

1. Donner la valeur exacte de $u_1$, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_1$ et de $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
4. On note $\ell$ sa limite. Justifier que $\ell=1+\ln\ell$ et en déduire la valeur de $\ell$.

Partie C

1. On remplace $u_0=2$ par $u_0=\frac12$. Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeur exacte et valeur approchée à $10^{-2}$). Que peut-on dire de $u_3$ ?
2. On revient à $u_0=2$. Recopier et compléter la fonction Python suivante, qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n-1<p$, où $p$ est un réel strictement positif.

from math import log

def seuil(p):
    u = 2
    n = 0
    while .......... :
        u = ..........
        n = n + 1
    return n

Expliquer pourquoi la boucle se termine.