Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.
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Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, puis dresser son tableau de variations.
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Sans calculatrice, en utilisant $\pi>e$, comparer les nombres $e^\pi$ et $\pi^e$.
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Soit $m$ un réel. Montrer que l'équation $\ln x=mx$ équivaut sur $]0\,;+\infty[$ à $f(x)=m$, puis discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de cette équation.
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a) Vérifier que $f(2)=f(4)$.
b) En déduire l'ensemble des réels $x>0$ tels que $2^x=x^2$.
$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$. En $+\infty$, utiliser les croissances comparées.
Pour 2., comparer $f(\pi)$ et $f(e)$, puis revenir à $\ln(\pi^e)$ et $\ln(e^\pi)$.
Pour 3., séparer $]0\,;e]$ et $[e\,;+\infty[$, et remarquer que $f(x)>0$ pour $x>1$. Pour 4.b, appliquer $\ln$ aux deux membres.
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