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Limites aux bornes : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Limites aux bornes
$$\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty.$$ L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.
Démonstration : Limites aux bornes
Démonstration
Preuve
En $+\infty$. Soit $M$ un réel. Pour $x>e^M$, la stricte croissance de $\ln$ donne $\ln x>\ln(e^M)=M$. Ainsi, pour tout réel $M$, $\ln x>M$ dès que $x$ est assez grand : $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
En $0$. Pour $x>0$, on pose $X=\frac1x$. Alors $\ln x=-\ln X$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, donc $\ln X\to+\infty$ et, par composition, $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.
S’entraîner
- Limites sans forme indéterminée
- Lever des formes indéterminées
- Étude de x − ln x
- Étude de ln(4 − x²)
- La fonction ln x / x : comparaison et équation à paramètre