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Inégalité de référence : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Inégalité de référence
Pour tout réel $x \geqslant 0$, $\sin x \leqslant x$.
Démonstration : Inégalité de référence
Démonstration
Preuve par étude de fonction
Soit $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = x - \sin x$. $f$ est dérivable et $f'(x) = 1 - \cos x$.
Comme $\cos x \leqslant 1$ pour tout réel $x$, on a $f'(x) \geqslant 0$ : $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.
Pour tout $x \geqslant 0$, $f(x) \geqslant f(0) = 0 - \sin 0 = 0$, c'est-à-dire $\sin x \leqslant x$.
Géométriquement : la courbe de sinus est sous sa tangente en $0$ sur $[0\,;+\infty[$.