On veut démontrer que, pour tout réel $x$ : $$\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}.$$ Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$.
- Montrer que $g$ est paire.
- Calculer $g'(x)$ et montrer, à l'aide d'un résultat du cours, que $g'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$.
- En déduire le signe de $g$ sur $[0\,;+\infty[$, puis sur $\mathbb{R}$. Conclure.
- Application : donner un minorant de $\cos(0{,}1)$.
- Montrer que pour tout réel $x \neq 0$, $\left|\dfrac{1 - \cos x}{x}\right| \leqslant \dfrac{|x|}{2}$, et retrouver la limite de $\dfrac{\cos x - 1}{x}$ en $0$.
$g'(x) = x - \sin x$ : le cours contient une inégalité sur $\sin x$ pour $x \geqslant 0$.
Une fonction croissante sur $[0\,;+\infty[$ est minorée par sa valeur en $0$.
Pour la question 5, remarquer que $1 - \cos x \geqslant 0$ pour tout $x$.
1. $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$, $g(-x) = \cos(-x) - 1 + \frac{(-x)^2}{2} = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} = g(x)$. $g$ est paire.
2. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = -\sin x + x = x - \sin x$. D'après le cours, $\sin x \leqslant x$ pour tout $x \geqslant 0$. Donc $g'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$.
3. $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc pour tout $x \geqslant 0$, $g(x) \geqslant g(0) = 1 - 1 + 0 = 0$.
Si $x < 0$, alors $-x > 0$ et, par parité, $g(x) = g(-x) \geqslant 0$.
Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$.
4. Avec $x = 0{,}1$ : $\cos(0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}01}{2} = 0{,}995$.
5. Pour tout réel $x$, $\cos x \leqslant 1$, donc $1 - \cos x \geqslant 0$ ; l'inégalité démontrée s'écrit $1 - \cos x \leqslant \frac{x^2}{2}$. Ainsi $0 \leqslant 1 - \cos x \leqslant \frac{x^2}{2}$ et, pour $x \neq 0$, en divisant par $|x| > 0$ : $$\left|\frac{1-\cos x}{x}\right| = \frac{1 - \cos x}{|x|} \leqslant \frac{x^2}{2|x|} = \frac{|x|}{2}.$$ Donc $-\frac{|x|}{2} \leqslant \frac{\cos x - 1}{x} \leqslant \frac{|x|}{2}$. Les deux bornes tendent vers $0$ quand $x \to 0$ ; par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x} = 0$, ce qui est conforme au cours.
cos x ≥ 1 − x²/2 pour tout réel x ; cos(0,1) ≥ 0,995