Étudier une fonction trigonométrique : méthode (Terminale spé)
Étudier une fonction trigonométrique
- Chercher la parité et une période pour réduire l'intervalle d'étude.
- Calculer la dérivée et la factoriser (souvent en utilisant $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, formule vue en 1re).
- Étudier le signe de chaque facteur sur l'intervalle réduit, en s'aidant du cercle trigonométrique ou de la résolution d'une inéquation $\cos x > a$ ou $\sin x > a$.
- Dresser le tableau de variations, calculer les valeurs aux bornes et aux extremums.
- Compléter la courbe par symétrie puis par translation.
Étude de $h(x) = \cos(2x) + 2\cos x$
On a vu que $h$ est paire et $2\pi$-périodique : on l'étudie sur $[0\,;\pi]$.
Dérivée. $h'(x) = -2\sin(2x) - 2\sin x = -4\sin x\cos x - 2\sin x = -2\sin x\,(2\cos x + 1)$.
Signe. Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x \geqslant 0$, nul en $0$ et $\pi$. Ensuite $2\cos x + 1 > 0 \iff \cos x > -\frac{1}{2}$. Sur $[0\,;\pi]$, cosinus est strictement décroissant et $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ : donc $2\cos x + 1 > 0$ sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right[$ et $< 0$ sur $\left]\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$.
Avec le facteur $-2 < 0$ :
| $x$ | $0$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\pi$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $-2\sin x$ | $0$ | $-$ | $-$ | $0$ | |
| $2\cos x + 1$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $h'(x)$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ |
| $h(x)$ | $3$ | $\searrow$ | $-\frac{3}{2}$ | $\nearrow$ | $-1$ |
Valeurs. $h(0) = 1 + 2 = 3$ ; $h\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{4\pi}{3} + 2\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ ; $h(\pi) = \cos(2\pi) + 2\cos\pi = 1 - 2 = -1$.
Le minimum de $h$ sur $\mathbb{R}$ vaut $-\frac{3}{2}$ et le maximum vaut $3$.
S’entraîner
- Calculs de dérivées
- Parité et périodicité de trois fonctions
- Inéquations trigonométriques
- Étude de x ↦ 3cos(2x)
- Étude de x ↦ x + 2cos x sur [0 ; 2π]
Dans le cours
Fonctions sinus et cosinus : Étudier une fonction trigonométrique