Exercice corrigé : Périmètre d'un polygone régulier et nombre π

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n = n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_6$ (valeurs exactes).
2. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \leqslant \pi$.
3. Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
4. Soit $n \geqslant 3$. On inscrit dans le cercle trigonométrique un polygone régulier à $n$ côtés. Montrer que chaque côté mesure $2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$. En déduire la limite du périmètre $p_n$ de ce polygone quand $n \to +\infty$ et interpréter.