Fonctions avec racines carrées : quantité conjuguée : méthode (Terminale spé)
Fonctions avec racines carrées : quantité conjuguée
Face à une forme $\infty-\infty$ du type $\sqrt{u(x)}-\sqrt{v(x)}$ :
- On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{u(x)}+\sqrt{v(x)}$.
- On utilise $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$.
- On calcule la limite de l'expression obtenue.
Si l'une des deux quantités domine clairement, une simple factorisation suffit souvent.
Deux limites avec des racines
1. En $+\infty$, $\sqrt{x+1}-\sqrt x$ est de la forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$ : $$\sqrt{x+1}-\sqrt x=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt x)(\sqrt{x+1}+\sqrt x)}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}.$$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt x\right)=0$.
2. En $+\infty$, $\sqrt x-x$ est de la forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$, $\sqrt x-x=\sqrt x\,(1-\sqrt x)$. On a $\sqrt x\to+\infty$ et $1-\sqrt x\to-\infty$, donc par produit $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt x-x)=-\infty$.
S’entraîner
- Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
- Limites de fonctions composées
- Racines carrées et quantité conjuguée
Dans le cours
Limites de fonctions : Fonctions avec racines carrées : quantité conjuguée