Lever une indétermination en l'infini par factorisation : méthode (Terminale spé)

1. $\lim_{x\to+\infty}(x^2-3x+1)$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$, $x^2-3x+1=x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $x^2$ vers $+\infty$, donc la limite est $+\infty$.

2. $\lim_{x\to-\infty}(-2x^3+5x^2)$ : pour $x\neq0$, $-2x^3+5x^2=x^3\left(-2+\frac5x\right)$. On a $\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et la parenthèse tend vers $-2$, donc par produit la limite est $+\infty$.

3. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2-5}$ : forme $\frac\infty\infty$. Pour $x$ assez grand, $$\frac{2x^2+x}{x^2-5}=\frac{x^2\left(2+\frac1x\right)}{x^2\left(1-\frac5{x^2}\right)}=\frac{2+\frac1x}{1-\frac5{x^2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac21=2.$$

4. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x^2+1}$ : $\dfrac{x\left(1+\frac1x\right)}{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac1x\times\dfrac{1+\frac1x}{1+\frac1{x^2}}$. Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $1$ : la limite est $0$.

5. $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^3-1}{2x+3}$ : $\dfrac{x^3\left(1-\frac1{x^3}\right)}{x\left(2+\frac3x\right)}=x^2\times\dfrac{1-\frac1{x^3}}{2+\frac3x}$. On a $x^2\to+\infty$ et le quotient tend vers $\frac12$ : la limite est $+\infty$.