Déterminer les limites suivantes.
a) $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$
b) $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\right)$
c) $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$
d) $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)$
Avant toute transformation, déterminer la limite de chaque terme : les quatre limites ne sont pas toutes indéterminées.
Pour a) et b), multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
Pour $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$, ce qui permet d'écrire $\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac3x}$.
a) Pour $x>0$, $x^2+3x>0$. Comme $\sqrt{x^2+3x}\to+\infty$ et $-x\to-\infty$, c'est une forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}.$$ Pour $x>0$, $\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac3x}=x\sqrt{1+\frac3x}$, d'où $$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac3x}+1\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac3x}+1}.$$ Comme $1+\frac3x\to1$, par composition $\sqrt{1+\frac3x}\to1$. La limite est $\dfrac3{1+1}=\dfrac32$.
b) Pour $x\geq1$, les deux racines sont définies et tendent vers $+\infty$ : forme $\infty-\infty$. $$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=\frac{(x+4)-(x-1)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}=\frac{5}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}.$$ Par composition, $\sqrt{x+4}\to+\infty$ et $\sqrt{x-1}\to+\infty$, donc le dénominateur tend vers $+\infty$ et la limite est $0$.
c) L'expression est définie pour $x\leq-3$. En $-\infty$, $x^2+3x\to+\infty$ (même limite que $x^2$), donc par composition $\sqrt{x^2+3x}\to+\infty$. De plus $-x\to+\infty$. Ce n'est pas une forme indéterminée : par somme, $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=+\infty$.
d) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac1{x^2}}$, donc $$\sqrt{x^2+1}-2x=x\left(\sqrt{1+\frac1{x^2}}-2\right).$$ La parenthèse tend vers $1-2=-1$ et $x\to+\infty$ : par produit, la limite est $-\infty$.
a) $\frac32$ ; b) $0$ ; c) $+\infty$ ; d) $-\infty$