Exercice corrigé : Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini

a) On a $-3x^3\to-\infty$ et $2x^2\to+\infty$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$ : $$-3x^3+2x^2-7=x^3\left(-3+\frac2x-\frac7{x^3}\right).$$ Comme $\frac2x\to0$ et $\frac7{x^3}\to0$ en $+\infty$, la parenthèse tend vers $-3$. Comme $x^3\to+\infty$, par produit : $\lim_{x\to+\infty}(-3x^3+2x^2-7)=-\infty$.

b) En $-\infty$, $x^4\to+\infty$ et $5x^3\to-\infty$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$ : $$x^4+5x^3+1=x^4\left(1+\frac5x+\frac1{x^4}\right).$$ La parenthèse tend vers $1$ et $x^4\to+\infty$ (exposant pair), donc $\lim_{x\to-\infty}(x^4+5x^3+1)=+\infty$.

c) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ : $$\frac{4x^2-x}{2x^2+3}=\frac{x^2\left(4-\frac1x\right)}{x^2\left(2+\frac3{x^2}\right)}=\frac{4-\frac1x}{2+\frac3{x^2}}.$$ Le numérateur tend vers $4$, le dénominateur vers $2$ : la limite est $\frac42=2$. La droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

d) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq3$ : $$\frac{x^2+1}{x-3}=\frac{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}{x\left(1-\frac3x\right)}=x\times\frac{1+\frac1{x^2}}{1-\frac3x}.$$ Le quotient tend vers $\frac11=1$ et $x\to-\infty$ : par produit, $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{x-3}=-\infty$.

e) En $-\infty$, $5x+2\to-\infty$ et $x^3+1\to-\infty$ : forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$ : $$\frac{5x+2}{x^3+1}=\frac{x\left(5+\frac2x\right)}{x^3\left(1+\frac1{x^3}\right)}=\frac1{x^2}\times\frac{5+\frac2x}{1+\frac1{x^3}}.$$ On a $\frac1{x^2}\to0$ et le second facteur tend vers $5$ : par produit, la limite est $0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$.

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