Fonctions contenant un sinus ou un cosinus : méthode (Terminale spé)
Fonctions contenant un sinus ou un cosinus
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n'ont pas de limite en l'infini. Pour une expression qui en contient :
- On part de $-1\leq\sin x\leq1$ (ou $-1\leq\cos x\leq1$).
- On reconstruit l'expression étudiée par opérations sur l'inégalité, en faisant attention au signe quand on multiplie ou divise.
- Si on cherche une limite infinie, une seule inégalité suffit (minoration pour $+\infty$, majoration pour $-\infty$) ; si on cherche une limite finie, il faut un encadrement dont les deux bornes ont la même limite.
Comparaison et encadrement en pratique
1. $f(x)=x+\sin x$. Pour tout $x$, $\sin x\geq-1$, donc $f(x)\geq x-1$. Comme $\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$, par comparaison $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. De même $f(x)\leq x+1$ et $\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty$, donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
2. $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ sur $]0;+\infty[$. Pour $x>0$, en divisant $-1\leq\sin x\leq1$ par $x>0$ : $-\dfrac1x\leq g(x)\leq\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ ; par encadrement, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$.
3. $k(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x}=2+\dfrac{\cos x}{x}$ pour $x>0$. De $-1\leq\cos x\leq1$ et $x>0$ on tire $2-\dfrac1x\leq k(x)\leq2+\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $2$ : par encadrement $\lim_{x\to+\infty}k(x)=2$, et la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
Bon sens de l'inégalité
Pour montrer qu'une fonction tend vers $+\infty$, il faut la minorer par une fonction qui tend vers $+\infty$. La majorer ne donne rien : $f(x)\leq x$ est compatible avec $\lim f=+\infty$ comme avec $\lim f=0$.
S’entraîner
- Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
- Limites de fonctions composées
- Premières comparaisons avec sinus et cosinus
Dans le cours
Limites de fonctions : Fonctions contenant un sinus ou un cosinus