Limites de l'exponentielle : énoncé (Terminale spé)

Une inégalité. Soit $h(x)=e^x-x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $h$ est dérivable et $h'(x)=e^x-1$. Comme l'exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$ : $h'(x)<0$ pour $x<0$ et $h'(x)>0$ pour $x>0$. La fonction $h$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ ; son minimum est $h(0)=1>0$. Donc, pour tout réel $x$, $e^x>x$.

En $+\infty$. Pour tout $x$, $e^x>x$ et $\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$. Par comparaison, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.

En $-\infty$. Pour tout réel $x$, $e^x=\dfrac{1}{e^{-x}}$. On pose $X=-x$ : quand $x\to-\infty$, $X\to+\infty$ et $e^X\to+\infty$. Par composition $\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, puis par quotient $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.