Étudier une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ : méthode (Terminale spé)
Étudier une suite $u_{n+1}=f(u_n)$
- Étudier les variations de $f$ sur un intervalle $I$ adapté, et calculer les premiers termes pour conjecturer le comportement.
- Démontrer par récurrence un encadrement et le sens de variation en une seule propriété, par exemple $a\le u_n\le u_{n+1}\le b$. Quand $f$ est croissante sur $[a\,;b]$, l'hérédité s'obtient en appliquant $f$ à chaque membre.
- Conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone.
- Justifier la continuité de $f$, résoudre $f(x)=x$, et garder la solution compatible avec l'encadrement : si $a\le u_n\le b$ pour tout $n$, alors $a\le\ell\le b$.
Exemple complet : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$
Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\sqrt{x+6}$, définie et croissante sur $[-6\,;+\infty[$.
Récurrence. Notons $P(n)$ : « $0\le u_n\le u_{n+1}\le3$ ».
- Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt7\approx2{,}65$. On a bien $0\le1\le\sqrt7\le3$ car $7\le9$. $P(0)$ est vraie.
- Hérédité : supposons $0\le u_n\le u_{n+1}\le3$. Comme $f$ est croissante sur $[0\,;3]$ :
$$f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(3),\ \text{soit}\ \sqrt6\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le3.$$
Comme $\sqrt6\ge0$, $P(n+1)$ est vraie.
- Conclusion : pour tout $n$, $0\le u_n\le u_{n+1}\le3$.
Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers un réel $\ell$. Comme $1=u_0\le u_n\le3$, on a $1\le\ell\le3$.
Valeur de la limite. $f$ est continue sur $[-6\,;+\infty[$, donc en $\ell$, et $f(\ell)=\ell$ :
$$\sqrt{\ell+6}=\ell\ \Longrightarrow\ \ell+6=\ell^2\ \Longrightarrow\ \ell^2-\ell-6=0\ \Longrightarrow\ (\ell-3)(\ell+2)=0.$$
Donc $\ell=3$ ou $\ell=-2$. Comme $\ell\ge1$, $\ell=3$.
Conclusion : $\lim u_n=3$.
Utiliser le point fixe pour prouver une divergence
Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$.
- Par récurrence, $u_n\ge1$ pour tout $n$ : c'est vrai pour $n=0$, et si $u_n\ge1$ alors $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}>u_n\ge1$.
- $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{u_n}>0$ : la suite est croissante.
- Supposons que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Alors $\ell\ge1$ et $f:x\mapsto x+\dfrac1x$ est continue sur $]0\,;+\infty[$, donc $\ell=\ell+\dfrac1\ell$, soit $\dfrac1\ell=0$ : impossible.
La suite ne converge donc pas. Si elle était majorée, étant croissante, elle convergerait : elle n'est donc pas majorée. Croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$.
Fonction décroissante
Si $f$ est décroissante, la suite $(u_n)$ n'est en général pas monotone (ses termes oscillent autour de la limite). La méthode par récurrence ci-dessus ne s'applique pas directement ; un énoncé de bac guide alors l'étude, souvent par un encadrement et le théorème des gendarmes.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Limites de suites géométriques
- Suite arithmético-géométrique et seuil
- Convergence monotone pour des sommes