Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=10$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+4$.
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- On pose, pour tout $n$, $v_n=u_n-20$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.
- Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
- À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>19{,}9$.
Exprimer $v_{n+1}$ à l'aide de $u_n$, puis faire apparaître $u_n-20$ en factorisant.
Une fois $v_n$ connu, $u_n=v_n+20$.
Pour le seuil, se ramener à une inéquation du type $0{,}8^n<c$ et tester des valeurs de $n$.
1. $u_1=0{,}8\times10+4=12$ et $u_2=0{,}8\times12+4=13{,}6$.
2. Pour tout $n$ :
$$v_{n+1}=u_{n+1}-20=0{,}8\,u_n+4-20=0{,}8\,u_n-16=0{,}8\,(u_n-20)=0{,}8\,v_n.$$
$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $v_0=10-20=-10$.
3. Donc $v_n=-10\times0{,}8^n$ et $u_n=v_n+20=20-10\times0{,}8^n$.
Vérification : $u_1=20-8=12$ et $u_2=20-6{,}4=13{,}6$.
Comme $-1<0{,}8<1$, $\lim0{,}8^n=0$, donc $\lim u_n=20$.
4. Pour tout $n$ :
$$u_{n+1}-u_n=-10\times0{,}8^{n+1}+10\times0{,}8^n=10\times0{,}8^n(1-0{,}8)=2\times0{,}8^n>0.$$
La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
5.
$$u_n>19{,}9\iff10\times0{,}8^n<0{,}1\iff0{,}8^n<0{,}01.$$
À la calculatrice : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}0092$. Comme $0<0{,}8<1$, la suite $(0{,}8^n)$ est décroissante : pour tout $n\le20$, $0{,}8^n\ge0{,}8^{20}>0{,}01$, et pour tout $n\ge21$, $0{,}8^n\le0{,}8^{21}<0{,}01$.
Le plus petit entier cherché est $n=21$.
$u_n=20-10\times0{,}8^n$ ; $\lim u_n=20$ ; $n=21$