Limite et point fixe : énoncé (Terminale spé)
Limite et point fixe
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite à valeurs dans $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$.
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ de $I$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors
$$f(\ell)=\ell.$$
Démonstration : Limite et point fixe
Justification
La suite $(u_{n+1})$ a la même limite que $(u_n)$ : $\lim u_{n+1}=\ell$.
Par ailleurs, $\lim u_n=\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, donc $\lim f(u_n)=f(\ell)$ (propriété vue dans le chapitre sur la continuité).
Comme $u_{n+1}=f(u_n)$, les suites $(u_{n+1})$ et $(f(u_n))$ sont égales ; par unicité de la limite, $f(\ell)=\ell$.
La convergence d'abord
L'égalité $f(\ell)=\ell$ ne s'écrit qu'après avoir prouvé que la suite converge. Exemple : avec $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n$, l'équation $\ell=2\ell$ donne $\ell=0$, alors que $u_n=2^n$ tend vers $+\infty$.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Lever une indétermination par le terme dominant
- Limites de suites géométriques
- Comparaison et gendarmes avec $(-1)^n$ et $\sin n$