Exercice corrigé : Tétraèdre trirectangle et orthocentre

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère les points $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$ et $C(0;0;6)$.

1. Montrer que $\vec n\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$ et en déduire une équation cartésienne de ce plan.
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$, puis la distance $OH$.
3. Calculer le volume du tétraèdre $OABC$ en prenant le triangle $OAB$ pour base. En déduire l'aire du triangle $ABC$.
4. a) Justifier que la droite $(OA)$ est orthogonale au plan $(OBC)$ et en déduire $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$. b) Justifier que $\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$. c) En écrivant $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}$, montrer que $(AH)\perp(BC)$. d) Vérifier par le calcul que $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?