On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 représenté avec les conventions habituelles, et le repère orthonormé $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $K$ le milieu du segment $[CG]$.
- Donner les coordonnées des points $B$, $C$, $D$ et $K$.
- a) Montrer que le triangle $BDK$ est isocèle en $K$. b) On note $L$ le milieu de $[BD]$. Calculer $KL$ et justifier que $(KL)\perp(BD)$. c) En déduire que l'aire du triangle $BDK$ est égale à $\dfrac{\sqrt6}4$.
- a) Montrer que le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(BDK)$. b) En déduire une équation cartésienne du plan $(BDK)$.
- On note $\Delta$ la droite passant par $C$ et orthogonale au plan $(BDK)$. a) Donner une représentation paramétrique de $\Delta$. b) Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de $\Delta$ et du plan $(BDK)$. c) Calculer la distance $CH$.
- a) Justifier que $CK$ est la hauteur du tétraèdre $CBDK$ relative à la base $BCD$, puis calculer le volume de ce tétraèdre. b) Calculer à nouveau ce volume en prenant $BDK$ pour base, et vérifier la cohérence des résultats.
$G(1;1;1)$ et $C(1;1;0)$ : les coordonnées de $K$ sont les moyennes.
Pour 3a, vérifier l'orthogonalité avec $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BK}$, non colinéaires.
Pour 5a, l'arête $(CG)$ est orthogonale à la face $ABCD$ ; le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
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$B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $G(1;1;1)$ donc $K\left(1;1;\frac12\right)$.
-
a) $\overrightarrow{KB}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{KD}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1/2\end{pmatrix}$, donc $KB=KD=\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}2$. Le triangle $BDK$ est isocèle en $K$.
b) $L\left(\frac12;\frac12;0\right)$, $\overrightarrow{KL}\begin{pmatrix}-1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}$, donc $KL=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}2$. Avec $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac12-\frac12+0=0$, donc $(KL)\perp(BD)$ (les droites se coupent en $L$).
c) $[KL]$ est la hauteur issue de $K$ et $BD=\sqrt2$ : $\mathcal A_{BDK}=\frac12\times\sqrt2\times\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt6}4$.
- a) $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}0\\1\\1/2\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de $\overrightarrow{BK}$ est nulle, pas celle de $\overrightarrow{BD}$, alors que leurs deuxièmes coordonnées sont égales). $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{BK}=0+1-1=0$. Le vecteur non nul $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal à $(BDK)$.
b) Une équation est $x+y-2z+d=0$ ; avec $B$ : $1+d=0$, donc $d=-1$. $$(BDK):\ x+y-2z-1=0$$ Contrôle : $D$ donne $0+1-0-1=0$ et $K$ donne $1+1-1-1=0$.
- a) $\Delta$ passe par $C$ et est dirigée par $\vec n$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=1+t\\z=-2t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.
b) En remplaçant : $(1+t)+(1+t)-2(-2t)-1=0\iff1+6t=0\iff t=-\frac16$. Donc $H\left(\frac56;\frac56;\frac13\right)$. Contrôle : $\frac56+\frac56-\frac23-1=\frac{10-4-6}6=0$.
c) $\overrightarrow{CH}=-\frac16\vec n$ et $\|\vec n\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6$, donc $CH=\frac{\sqrt6}6$.
- a) La droite $(CG)$ est orthogonale à la face $ABCD$, qui contient $B$, $C$, $D$, et $K\in(CG)$. Donc $C$ est le projeté orthogonal de $K$ sur le plan $(BCD)$ et la hauteur issue de $K$ est $CK=\frac12$. Le triangle $BCD$ est rectangle isocèle en $C$, d'aire $\frac12\times1\times1=\frac12$. Donc : $$V=\frac13\times\frac12\times\frac12=\frac1{12}$$
b) Avec la base $BDK$ et la hauteur $CH$ issue de $C$ : $$V=\frac13\times\frac{\sqrt6}4\times\frac{\sqrt6}6=\frac13\times\frac6{24}=\frac1{12}$$ Les deux calculs donnent le même volume, ce qui confirme les résultats des questions 2 et 4.
$K\left(1;1;\frac12\right)$ ; $(BDK):\ x+y-2z-1=0$ ; $H\left(\frac56;\frac56;\frac13\right)$ ; $CH=\frac{\sqrt6}6$ ; $V=\frac1{12}$