Dans un repère orthonormé, on considère $A(1;2;3)$, $B(3;0;-1)$ et $I$ le milieu de $[AB]$.
- Montrer que, pour tout point $M$ de l'espace : $MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}$.
- En déduire que l'ensemble $\Pi$ des points $M$ équidistants de $A$ et $B$ est un plan, dont on précisera un point et un vecteur normal.
- Déterminer une équation cartésienne de $\Pi$.
- Retrouver cette équation en traduisant directement $MA^2=MB^2$ en coordonnées.
- Déterminer le point de l'axe $(Oz)$ équidistant de $A$ et $B$.
- Calculer la distance de l'origine $O$ au plan $\Pi$.
Appliquer l'identité $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2$ avec $\vec u=\overrightarrow{MA}$ et $\vec v=\overrightarrow{MB}$.
Exprimer $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ à l'aide de $I$, et $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$ avec la relation de Chasles.
Pour la question 6, projeter $O$ sur $\Pi$ selon la méthode du cours.
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Avec $\vec u=\overrightarrow{MA}$ et $\vec v=\overrightarrow{MB}$ : $$MA^2-MB^2=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)$$ $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0$ et $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$. Par Chasles, $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$. Donc : $$MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{BA}=2\,\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}$$
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Les distances étant positives, $MA=MB\iff MA^2=MB^2\iff\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$. Comme $A\neq B$, $\overrightarrow{AB}\neq\vec0$ : $\Pi$ est le plan passant par $I$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.
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$I(2;1;1)$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$. Pour $M(x;y;z)$ : $$2(x-2)-2(y-1)-4(z-1)=0\iff2x-2y-4z+2=0\iff x-y-2z+1=0$$
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$MA^2=MB^2$ s'écrit $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-3)^2+y^2+(z+1)^2$. Les termes $x^2$, $y^2$, $z^2$ s'éliminent : $$-2x-4y-6z+14=-6x+2z+10\iff4x-4y-8z+4=0\iff x-y-2z+1=0$$ On retrouve l'équation de la question 3.
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Un point de $(Oz)$ s'écrit $(0;0;z)$ ; il appartient à $\Pi$ si et seulement si $-2z+1=0$, soit $z=\frac12$. Le point cherché est $\left(0;0;\frac12\right)$. Vérification : $MA^2=1+4+\frac{25}4=\frac{45}4$ et $MB^2=9+0+\frac94=\frac{45}4$.
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La droite passant par $O$ dirigée par $\vec n\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ s'écrit $\begin{cases}x=t\\y=-t\\z=-2t\end{cases}$. En remplaçant : $t+t+4t+1=0$, soit $t=-\frac16$. Le projeté de $O$ est $\left(-\frac16;\frac16;\frac13\right)$ ; contrôle : $-\frac16-\frac16-\frac23+1=0$. Avec $\|\vec n\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6$, la distance est : $$|t|\times\|\vec n\|=\frac{\sqrt6}6$$
$\Pi:\ x-y-2z+1=0$ ; point $\left(0;0;\frac12\right)$ ; $d(O,\Pi)=\frac{\sqrt6}6$