Calculer un angle géométrique : méthode (Terminale spé)

Méthode

Calculer un angle géométrique

Pour calculer l'angle $\widehat{BAC}$ connaissant les coordonnées de $A$, $B$, $C$ dans un repère orthonormé :

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ avec $xx'+yy'+zz'$.
Calculer $AB$ et $AC$.
En déduire $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$, puis l'angle à la calculatrice (fonction $\arccos$, notée $\cos^{-1}$).

Exemple

Angle dans un triangle de l'espace

Dans un repère orthonormé, on considère $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$ et $C(2;2;3)$.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times1+1\times2+(-2)\times1=2$.
$AB=\sqrt{4+1+4}=3$ et $AC=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$.

Donc $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{2}{3\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{9}$, et $\widehat{BAC}\approx74{,}2^\circ$ au dixième de degré.

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